ЕГЭ Задание 14

Типы заданий № 14

В этой статье будет разобрано задание 14.

Рассмотрим типовые задачи из четырнадцатого задания ЕГЭ по информатике.

Данное задание относится к повышенному уровню сложности.

Время выполнения задания ≈ 3 минуты.

Для того чтобы решать задания № 14 ЕГЭ — нужно знать теорию по системам счисления, переводы чисел, а также двоичную арифметику. Информация по системам счисления описана в статье в статье(ссылка ниже):

Ссылка на статью: Системы счисления.

Задача 1

Сколько единиц и сколько значащих нулей содержится в значении выражения:

Решение:

Решение аналитическое

Упростим решение, чтобы не выделять в исходном выражении какие-либо пары слагаемых, а оперировать только со значениями их показателей степеней и знаками сложения/вычитания.

1. Для степеней двойки операция сложения всегда добавляет 1. Будем также считать, что операция вычитания всегда добавляет количество единиц, равное разности значений показателей степени данного вычитаемого и предыдущего слагаемого/вычитаемого, уменьшенной на 1. Исключение составляет последнее слагаемое, в котором количество единиц может быть просто подсчитано.
2. Составим таблицу, в которой будем согласно вышеуказанным правилам подсчитывать, сколько единиц добавляет каждое слагаемое или вычитаемое:

3. Суммируем количества добавляемых единиц, указанные в последнем столбце таблицы: 1+1+1+1+2=6.
4. Количество значащих нулей подсчитывается точно так же, как в первом столбце, зная, что всё число содержит 13 разрядов: 13 - 6 = 7.

Ответ: 6 единиц, 7 нулей.

Задача 2

Сколько единиц и сколько значащих нулей содержится в двоичной записи числа:

Решение:

Решение аналитическое

1. Преобразуем все "степенные" слагаемые в степени двойки: Последнее слагаемое переведём в двоичную систему счисления: 1344 = 10101000000 и представим его как сумму степеней двоек: Перепишем исходное выражение:
2. Составим таблицу:

Получается, что в заданном числе 2673 единицы в двоичном представлении.

3. Вычисляем количество нулей. Количество разрядов в числе равно значению наибольшего показателя степени (4023), увеличенному на 1 (нулевой разряд). Следовательно, число имеет 4024 разряда. Тогда, если в нём 2673 единицы, то количество нулей равно: 4024 - 2673 = 1353.

Ответ: 2673 единицы, 1353 нуля.

Задача 3

Сколько единиц в двоичной записи числа:

Решение:

Решение аналитическое

1. Все числа, кроме последнего, представим как степени двоек (учитывая, что 8 = 2 в кубе, а 4 = 2 в квадрате). Последнее число 3 оставляем без изменений - оно имеет знак "плюс" и, как легко определить, содержит две единицы. Получаем запись:
2. Составим таблицу для подсчёта количества добавляемых единиц:

3. Суммируем найденные количества единиц:

Ответ: 753.

Задача 4

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа:

Решение:

Решение аналитическое

В двоичной системе количество значащих нулей легко найти как разность общего количества разрядов в числе и количества единиц в нём, поэтому данная задача сводится к подсчёту количества единиц в числе.

1. Аналогично предыдущей задаче, сначала представим все числа как степени двоек. В данном случае число 245 имеет знак "минус", и напрямую подсчитывать в нём количество единиц, чтобы добавить к ранее полученному числу, неудобно. Поэтому представим число 245 тоже как набор степеней двоек, например: 245 = 256 - 8 - 2 - 1. Тогда получаем следующую запись:
2. Перепишем это выражение по убыванию значений степеней двоек:
3. Составляем таблицу:

4. Суммируем вычисленные в таблице количества единиц: 1 + 1 + 639 + 119 + 1 + 1 + 1 = 763.
5. Общее количество значащих разрядов определяется самой старшей степенью двойки, в нашем случае — числом 2 в 1024 степени. Такое число содержит единицу в старшем разряде и 1024 нуля после неё, т.е. общая длина числа равна 1025 знаков. Тогда количество значащих нулей в результирующем двоичном числе равно 1025 - 763 = 262.

Ответ: 262

Решение подобных задач для других систем счисления в целом аналогично. При этом обычно в условии фигурируют цифры, получаемые вычитанием "из нуля", так что рассмотренные выше принципы решения вполне применимы и в этих случаях.

Задача 5

Значение арифметического выражения записано в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?

Решение:

Решение аналитическое

1. Представим все числа как степени троек(т.е. как степени заданного основания системы счисления):
2. Перепишем полученные значения по убыванию степеней:
3. Составляем таблицу подсчёта, аналогичную ранее рассмотренным при решении задач на двоичную систему, но теперь учитываем отдельно возникающие в троичной системе единицы (при знаке "плюс") и двойки (при знаке "минус"; в троичной системе цифра 2 является аналогом появления в числе "девяти" в десятичной). При этом обратим внимание: во время заёмов из более старших разрядов двойки распространяются слева направо до тех пор, пока в очередном более старшем разряде не будет встречена единица; именно эта единица будет потрачена, а количество двоек будет равно просто разности степеней предыдущего и данного слагаемых.

В задаче нас интересуют только двойки, поэтому количества единиц мы не учитываем, а количество двоек равно 34.

Ответ: 34

Задача 6

Значение арифметического выражения записано в системе счисления с основанием 7. Сколько шестёрок и сколько значащих нулей содержится в этой записи?

Решение:

Решение аналитическое

1. Представим все числа как степени семёрок: Проверим, что степени записаны в порядке убывания.
2. Составляем таблицу подсчёта, помня, что знак "плюс" добавляет единицы, а знак "минус" добавляет шестёрки("старшие" цифры семеричной системы, аналогичные "девяткам" в десятичной).

3. Подсчитываем количество шестёрок: их 223.
4. Подсчитываем количество значащих нулей. Общее число разрядов числа определяется наибольшим значением показателя степени(на 1 больше этого значения), тогда в числе содержится 6051 + 1 = 6052 разряда. Подсчитаем количество всех ненулевых цифр, определяемое как сумма всех цифр, добавляемых каждым слагаемым или вычитаемым, рассмотренным в наибольшей таблице (помня, что одна из добавившихся было единиц была потрачена на заём и, следовательно, превращена в нуль): 1 + 223 + 1 = 225. Тогда количество нулей в числе вычисляется как разность: 6052 - 225 = 5827.

Ответ: 223 шестёрки и 5827 нулей.

Задача 7

Значение выражения записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?

Решение:

Решение аналитическое

1. Переписываем два первых числа как указанное в условии основание системы счисления(7) в соответствующей степени. Последнее число (47) в данном случае удобнее представить как (49-2), где число 49 представляем как 7 в квадрате.
2. Составляем таблицу:

Особое внимание уделяем вычитанию семеричной двойки в последнем, нулевом разряде: здесь при вычитании(7-2) появляется шестёрка, а из разряда 1 производится заём единицы. Поэтому в разряде 1 имеем 7-1=6 и заём из разряда 2, где бывшая там единица заменяется на нуль, и цепочка заёмов на этом прекращается.

3. Итого получили: 8 + 1 = 9 шестёрок.

Ответ: 9

Задача 8

Значение выражения записали в системе счисления с основанием 3. Найдите сумму цифр в этой записи. Ответ запишите в десятичной системе.

Решение:

Решение аналитическое

2. Составляем таблицу:

3. Сумма цифр записи: 1 + 0 + 13 ⋅ 2 + 1 + 1 + 1 = 30.

Ответ: 30

Далее используем язык программирования Python для решения подобных и более сложных задач.

Задача 9 (Классическая)

Значение выражения: записано в системе счисления с основанием 9. Сколько цифр 7 имеется в этой записи?

Решение:

Решение на Python

f = 7 * 6561**46 + 8 * 729**15 - 6 * 5832
c = 0
while f > 0:
    if f % 9 == 7:
        c += 1
    f //= 9
print(c)

В переменную f записываем арифметическое выражение. Две звёздочки подряд обозначают возведение в степень. Заводим переменную c, которая будет отвечать за ответ. Сам перевод числа f в девятеричную систему происходит в цикле WHILE.

Вычисляем остатки от деления на 9. Очередная цифра в 9-ричной системе, это и есть остаток при делении f на 9. Если очередной остаток равен нужной цифре "7", то мы прибавляем счётчик с. Так же производим целочисленное деление на 9, чтобы остатки менялись. Алгоритм точно такой же, как если бы переводили на листке бумаги делением уголком.

Продолжая данный алгоритм, в переменной f будет рано или поздно ноль.

Важно понимать, что в начале у нас идёт последняя цифра в девятеричной системе, при следующем проходе цикла - предпоследняя и т.д.

Ответ: 2

Задача 10 (Количество цифр, превышающих 9)

Определите количество цифр с числовым значением, превышающим 9, в 27-ричной записи числа, заданного выражением:

Решение:

Решение на Python

f = 2 * 729**2014 + 2 * 243**2016 - 2 * 81**2018 + 2 * 27**2020 - 2 * 9**2022 - 2024
c = 0
while f > 0:
    if f % 27 > 9:
        c += 1
    f //= 27
print(c)

Решение почти такое же, как в прошлой задаче, но теперь мы подсчитываем только те цифры, которые больше 9.

Ответ: 2687

Задача 11 (Cумма цифр)

Значение арифметического выражения записали в системе счисления с основанием 7. В этой записи найдите сумму цифр с числовым значением, превышающим 3.

Решение:

Решение на Python

f = 51 * 7**12 - 7**3 - 22
summ = 0
while f > 0:
    if f % 7 > 3:
        summ += f % 7
    f //= 7
print(summ)

Здесь решение похоже на предыдущую задачу. Создаём переменную summ для ответа. Суммируем только те цифры в семеричной системе, которые больше трёх.

Ответ: 65

Задача 12 (Классическая второго типа)

В выражении x обозначает некоторую цифру из алфавита шестнадцатеричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного выражения кратно 15. Для найденного x вычислите частное от деления данного выражения на 15 и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.

Решение:

Решение на Python

Необходимо перебирать каждую цифру из шестнадцатеричной системы (0-15) с помощью цикла. Нас будут интересовать те значения x, при котором сумма этих чисел делится на 15.

for x in range(0, 16):
    a = 13 * 16 ** 0 + 10 * 16 ** 1 + 11 * 16 ** 2 + x * 16 ** 3 + 1 * 16 ** 4
    b = 14 * 16 ** 0 + 15 * 16 ** 1 + x * 16 ** 2 + 12 * 16 ** 3 + 2 * 16 ** 4
    if (a + b) % 15 == 0:
        print(x, (a + b) // 15)

Чтобы проверить, делится ли данное выражение на 15, переводим оба слагаемых в нашу родную десятичную систему. В задаче нужно написать для наименьшего найденного значения x результат от деления данной суммы на 15.

Ответ: 18341

Задача 12 (Две переменные)

Числа M и N записаны в системах счисления с основаниями 15 и 13 соответственно. В записи чисел переменными x и y обозначены допустимые в данных системах счисления неизвестные цифры. Определите наименьшее значение натурального числа A, при котором существуют такие x, y, что M + A кратно N.

Решение:

Решение на Python

for A in range(1, 2000):
    for x in range(0, 13):
        for y in range(0, 13):
            M = 5 * 15 ** 0 + x * 15 ** 1 + 3 * 15 ** 2 + 2 * 15 ** 3 + y * 15 ** 4 + 2 * 15 ** 5
            N = y * 13 ** 0 + 9 * 13 ** 1 + x * 13 ** 2 + 7 * 13 ** 3 + 6 * 13 ** 4
            if (M + A) % N == 0:
                print(A)

Нужно найти A, значит, начинаем перебирать эту переменную в цикле. Изначально стоит пробовать запускать цикл из небольших верхних пределов значений для range, т.к. нужно найти наименьшее значение. Идём от 1, т.к. речь идёт о натуральных числах. Перебираем x и y. Они могут принимать значения из алфавита в 13-ой системе. Берём наименьшую систему, т.к. эти переменные есть и в первом числе, и во втором числе.

Если выполняется условие задачи, то нам интересно такое A, при котором это произошло.

В этой задаче A получается достаточно большим, поэтому верхний предел цикла по функции range удалось найти уже при значении 2000.

Ответ: 1535

Задача 13 (Тренировочная)

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры.

Решение:

Решение на Python

for i in range(3, 18):
    # Последняя цифра в троичной системе
    last1 = i % 3
    # Предпоследняя цифра в троичной системе
    x = i
    x //= 3
    last2 = x % 3
    if last1 == last2:
        print(i)

Остаток от деления на 3 - это и есть последняя цифра в троичной системе. Чтобы найти предпоследнюю цифру в троичной системе, нужно выполнить целочисленное деление числа (i) на 3, потом вновь найти остаток от деления.

Используем вспомогательную переменную x, чтобы не изменять значение первоначального числа i. Если выполняется условие задачи, печатаем i, при котором это произошло.

Начинаем перебор цикла с 3, т.к. именно с этого числа представление в троичной системе будет содержать минимум 2 разряда.

Ответ: 4, 8, 9, 13, 17

Задача 14 (Уравнение)

Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа.

Решение:

Решение на Python

for x in range(2, 16):
    for y in range(2, 16):
        a = 5 * x**0 + 2 * x**1 + 2 * x**2
        b = 5 * y**0 + 0 * y**1 + 4 * y**2
        if a == b:
            print(x)

Перебираем переменные x и y в циклах в примерном диапазоне от двоичной до шестнадцатеричной систем счисления. Внутри вложенных циклов переведём одно и второе число по правилам 8 класса в десятичную систему. Если числа окажутся равны, печатаем такое значение x, при котором это произошло.

Ответ: 8

Задача 15 (Последняя цифра)

Запись числа в девятеричной системе счисления заканчивается цифрой 4. Какой будет последняя цифра в записи этого числа в троичной системе счисления?

Решение:

Решение на Python

for i in range(9, 20):
    if i % 9 == 4:
        print(i, i % 3)

Используем то, что последняя цифра числа в какой-то системе счисления - это и есть остаток от деления этого числа на основание данной системы.

Ответ: 1

Задача 16 (Окончание на)

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Решение:

Решение на Python

Нужно перебрать все числа от 3 до 23 и определить, какие из них при делении числа 23 дадут остаток 2.

for n in range(3, 24):
    if 23 % n == 2:
        print(n)

Ответ: 3, 7, 21

Задача 17 (Равенство)

В какой системе счисления выполняется равенство 12 · 13 = 222? В ответе укажите число – основание системы счисления.

Решение:

Решение на Python

Если бы мы находились в десятичной системе, то последней цифрой была бы 6 (2 * 3). Но у нас 2! Т.е. cистема счисления меньше или равна 6 и больше или равна 4, т.к. если бы система счисления была больше 6, то у нас была бы 6 последняя цифра.

def F(num, n):
    s = ''
    while num > 0:
        s += str(num % n)
        num //= n
    return s[::-1]


for x in range(4, 6):
    a = int("12", x)
    b = int("13", x)
    n = F(a * b, x)
    if n == '222':
        print(x)

Шестёрка не "поместилась" в младший разряд, от неё осталось только 2. Остальные 4 единицы ушли в более старший разряд. Если 4 единицы составляют единицу более старшего разряда, то значит, мы находимся в четверичной системе.

Ответ: 4

Задача 18 (Основание системы)

Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?

Решение:

Решение на Python

def F(num, n):
    s = ''
    while num > 0:
        s += str(num % n)
        num //= n
    return s[::-1]


for x in range(20, 2, -1):
    num = 338
    n = F(num, x)
    if len(n) == 3 and n[-1] == '2':
        print(x, n)
        break

Решение аналитическое

В данной задаче можно применить формулу: где N - основание системы, m - количество разрядов. Примером для данной формулы можно взять два разряда в двоичной системе. Максимальное число c двумя разрядами в двоичной системе равно 11. А в десятичной системе это число равно 3, т.е. 2 в 2 степени - 1.

338 число будет точно больше, чем двухзначное число с основанием N. Получается неравенство: N - положительное целое число. Тогда:

Сказано, что число в системе с основанием N оканчивается на 2. Поэтому первый остаток должен быть равен 2!

Будем идти вниз от числа 18 и проверять, на что делится 336.

Число 336 должно делится на N.

Подошло число 16 (16 * 21 = 336!)

Ответ: 16

Задача 19 (Выражение с X)

Значение выражения записали в системе счисления с основанием 6, при этом в записи оказалось 12 цифр 5. При каком минимальном целом положительном X это возможно?

Решение:

Решение на Python

Идея алгоритма:

1. Вычисляем исходное многоразрядное число k без учёта вычитания X;
2. Организуем при помощи цикла while перебор значений X от 1 до величины числа k;
3. Вычисляем интересующее нас значение k1 = k - X;
4. При помощи типового алгоритма разбора числа на цифры подсчитываем количество имеющихся в числе k1 цифр "5";
5. Если количество цифр "5" оказалось равно 12, то прерываем цикл командой break — остаётся текущее значение X (так как перебор производился с 1 в сторону увеличения, это наименьшее значение X);
6. Добавляем в код логическую переменную flag(флаг), которой изначально присваиваем значение False(ложь), а при обнаружении решения и выходе из цикла по break значение флага меняется на True(истина);
7. В конце программы проверяем состояние "флага"(переменной flag) и выводим при успешном решении значение X.

k = 216**5 + 6**3 - 1
flag = False
X = 1
while X < k:
    n = 0
    k1 = k - X
    while k1 > 0:
        if k1 % 6 == 5:
            n += 1
        k1 //= 6
    if n == 12:
        flag = True
        break
    X += 1
if flag:
    print(X)

Ответ: 259

Задача 20 (из ЕГЭ 2024)

Значение арифметического выражения где х — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение х, при котором в троичной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно пять нулей.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Решение:

Решение на Python

Напишем программу на языке Python аналогичную в предыдущей задаче. Заменим выражение, обернув его в цикл for вместо while. Также поменяем условия внутри while при переборе всех разрядов у числа. И наконец, условие выхода из цикла тоже поменяем.

# По условию X не больше 2030. range начинаем с 2030 до 1, т.к. ищем наибольший x.
# третий параметр -1 отвечает за шаг, т.е. мы уменьшаем число в последовательности с 2030
for x in range(2030, 1, -1):
    f = 3 ** 100 - x
    # Счётчик нулей
    k1 = 0
    # Перебираем цифры в троичной системе
    while f > 0:
        if f % 3 == 0:
            k1 += 1
        f //= 3
    if k1 == 5:
        print(x)
        break

Ответ: 2024

Задача 21 (Добьём 14 задание из ЕГЭ по информатике)

В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 66 и 40 заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.

Решение:

Ещё раз про основания. Нужно найти такое число, чтобы числа 66 и 40 при делении на него давали остаток 1. Первый остаток при делении на основание системы - это и есть последняя цифра числа в этой системе счисления.

Искомое число должно быть делителем чисел 65 (66-1) и 39 (40-1). У числа 39 не так много делителей: 1, 3, 13, 39.

Видим, что число 65 делится на 13 (65 : 13 = 5).

Поэтому искомое число равно 13.

Решение на Python

for n in range(2, 40):
    if 66 % n == 1 and 40 % n == 1:
        print(n)
        break

Ответ: 13

Задача 22 (Демоверсия 2024)

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19. В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 18. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

ИЛИ

Значение арифметического выражения
записали в системе счисления с основанием 25. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

Решение:

В задании сказано, что x - это число в 19-ичной системе. Значит нам нужно перебрать все x от 18 до 0 в цикле и подставить в выражение. Расписав отдельно между операцией + значения чисел в развёрнутой форме в десятичной системе - сохраним результат в переменные значения a и b. Далее условие if проверяет(как по условию), что результат всего выражения(a+b) делится без остатка на 18. Команда print будет выводить все такие варианты и остаётся только выбрать в консоли ответ как наибольшее значение x.

Решение на Python

for x in range(18, -1, -1):
    a = 1*19**0 + 2*19**1 + x*19**2 + 7*19**3 + 9*19**4 + 8*19**5 + 8*19**6 + 9*19**7
    b = 3*19**0 + 2*19**1 + 9*19**2 + x*19**3 + 2*19**4
    if (a + b) % 18 == 0:
        print(x, (a + b) // 18)
        break # т.к. ищем максимальный x и идём в цикле от наибольшего x можно уже прервать цикл

Ответ: 469034148

Решение ИЛИ:

Второй вариант ИЛИ решить даже легче. В переменную R сначала сохраним результат вычисления данного в задании выражения. Далее переменная k служит счётчиком, отвечающим в конце на вопрос задачи в print. Далее запускаем цикл по условию пока результат выражения больше нуля -> мы будем остаток от деления на 25 и сокращать кол-во разрядов у числа целочисленным делением на 25. Тем самым в условии if мы посчитаем количество значащих нулей в результате выражения, так как, если бы этот результат был записан в 25-ичной системе счисления.

Решение на Python

R = 3*3125**8 + 2*625**7 - 4*625**6 + 3*125**5 - 2*25**4 - 2024
k = 0
while R > 0:
    if R % 25 == 0:
        k += 1
    R = R // 25
print(k)

Ответ: 9

Задача 23 (Демоверсия 2025)

1 вариант задания остался прежним как в демоверсии 2024 года.

Изменился совсем незначительно вариант ИЛИ. И добавился ещё второй вариант ИЛИ.

ИЛИ

Значение арифметического выражения
записали в системе счисления с основанием 25. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

ЕЩЁ ИЛИ

Значение арифметического выражения где x – целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 7-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в 7-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 71 нуль. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Решение:

Приведу ещё одно своё решение этого задания.

В задании сказано, что x - это число в 19-ичной системе. Значит нам нужно перебрать все x от 0 до 18 в цикле и подставить в выражение. Расписав отдельно между операцией + значения чисел в развёрнутой форме в десятичной системе - сохраним результат в переменные значения a и b. Далее условие if проверяет(как по условию), что результат всего выражения(a+b) делится без остатка на 18. Команда results.add будет добавлять все такие варианты в список. В конце остаётся только вывести в консоли ответ, как наибольшее значение(max).

Решение на Python

Через "сохранение" всех значений в списке.

results = []
for x in range(0, 19):
    a = 9 * 19 ** 7 + 8 * 19 ** 6 + 8 * 19 ** 5 + 9 * 19 ** 4 + 7 * 19 ** 3 + x * 19 ** 2 + 2 * 19 ** 1 + 1 * 19 ** 0
    b = 2 * 19 ** 4 + x * 19 ** 3 + 9 * 19 ** 2 + 2 * 19 ** 1 + 3 * 19 ** 0
    if (a + b) % 18 == 0:
        results.append((a + b) // 18)
print(max(results))

Ответ: 469034148

Решение ИЛИ:

Второй вариант ИЛИ решить даже легче. В переменную R сначала сохраним результат вычисления данного в задании выражения. Далее переменная k служит счётчиком, отвечающим в конце на вопрос задачи в print. Далее запускаем цикл по условию пока результат выражения больше нуля -> мы будем остаток от деления на 25 и сокращать кол-во разрядов у числа целочисленным делением на 25. Тем самым в условии if мы посчитаем количество значащих нулей в результате выражения, так как, если бы этот результат был записан в 25-ичной системе счисления.

Решение на Python

R = 3*3125**8 + 2*625**7 - 4*625**6 + 3*125**5 - 2*25**4 - 2025 
counter = 0
while R > 0:
    if R % 25 == 0:
        counter += 1
    R //= 25
print(counter)

Ответ: 10

Решение ЕЩЁ ИЛИ:

Решение на Python

Также через "сохранение" всех значений в списке.

results = []
for x in range(1, 2031):  # x не должен превысить значение 2030
    R = 7 ** 170 + 7 ** 100 - x
    # Счётчик нулей
    counter = 0
    # Перебираем цифры все цифры в числе
    while R > 0:
        if R % 7 == 0:  # Условие проверки для 7-ичной системы
            counter += 1  # считаем нули
        R //= 7  # Уменьшение разряда числа в 7-ичной системе

    if counter == 71:
        results.append(x)  # Добавить в список x удовлетворяющий условию задачи по количеству нулей
print(max(results))  # Выводим ответ как сохранившейся в списке максимальный x

Ответ: 2029

p.s. Вариантов и способов решения этого и подобных заданий № 14 в коде на python всегда может быть несколько: "замудренных", изящных, коротких и не очень.

Задача 24 (Демоверсия 2026)

Значение арифметического выражения

записали в системе счисления с основанием 27. Определите в 27-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, превышающим 9.

Решение:

R = 2 * 2187 ** 2020 + 729 ** 2021 - 2 * 243 ** 2022 + 81 ** 2023 - 2 * 27 ** 2024 - 6561
counter = 0
while R > 0:
    if R % 27 > 9:
        counter += 1 
    R //= 27 
print(counter)

Ответ: 3367

ИЛИ

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 29.

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 29-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 28. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 28 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение ИЛИ:

for x in range(28, -1, -1):
    a = 4 * 29 ** 0 + 7 * 29 ** 1 + 8 * 29 ** 2 + x * 29 ** 3 + 3 * 29 ** 4 + 2 * 29 ** 5 + 9 * 29 ** 6
    b = 2 * 29 ** 0 + 5 * 29 ** 1 + 1 * 29 ** 2 + 6 * 29 ** 3 + x * 29 ** 4 + 4 * 29 ** 5 + 2 * 29 ** 6 + 5 * 29 ** 7
    if (a + b) % 28 == 0:
        print(x, (a + b) // 28)
        break # т.к. ищем максимальный x и идём в цикле от наибольшего x можно уже прервать цикл

Ответ: 3319197720

ИЛИ 2

Значение арифметического выражения где x – целое положительное число, не превышающее 3000, записали в 11-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в 11-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 60 нулей.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Решение ИЛИ 2:

results = []
for x in range(1, 3001):  # x не должен превысить значение 3000
    R = 9 * 11 ** 210 + 8 * 11 ** 150 - x
    # Счётчик нулей
    counter = 0
    # Перебираем цифры все цифры в числе
    while R > 0:
        if R % 11 == 0:  # Условие проверки для 11-ичной системы
            counter += 1  # считаем нули
        R //= 11  # Уменьшение разряда числа в 7-ичной системе

    if counter == 60:  # насчитали ровно 60 нулей
        results.append(x)  # Добавить в список x удовлетворяющий условию задачи по количеству нулей
print(max(results))  # Выводим ответ как сохранившейся в списке максимальный x

Ответ: 2992

Попробуйте сами запустить код в окне ниже с интерпретатором Python и повторите примеры из статьи чтобы самим увидеть и понять как всё это работает. Для этого в ячейке с кодом нажмите клавиши на клавиатуре Shift+Enter или запустите код через кнопку Run по значку ▶.